So funktioniert der Rechner für quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Gesucht sind die Werte für x, an denen die zugehörige Parabel die x-Achse schneidet (die Nullstellen). Der Rechner setzt deine Werte für a, b und c in die Mitternachtsformel ein und liefert beide Lösungen, die Diskriminante und den Scheitelpunkt.
Die Formel (Mitternachtsformel)
Diskriminante: D = b² − 4ac
Die Diskriminante D unter der Wurzel entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt.
Was die Diskriminante verrät
| Diskriminante D | Anzahl reeller Lösungen | Bedeutung |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei | Parabel schneidet die x-Achse zweimal |
| D = 0 | eine (doppelt) | Parabel berührt die x-Achse im Scheitel |
| D < 0 | keine reelle | Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse |
Beispiel
Für x² − 3x + 2 = 0 ist a = 1, b = −3, c = 2. Damit ist D = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1. Die Lösungen sind x₁ = (3 + 1) ÷ 2 = 2 und x₂ = (3 − 1) ÷ 2 = 1. Die Parabel schneidet die x-Achse also bei x = 1 und x = 2.
Häufige Fragen
Was ist die Mitternachtsformel?
Die deutsche Bezeichnung für die allgemeine Lösungsformel quadratischer Gleichungen (a-b-c-Formel). Der Name spielt darauf an, dass man sie „auch um Mitternacht“ beherrschen sollte.
Was ist der Unterschied zur p-q-Formel?
Die p-q-Formel gilt für die Normalform x² + px + q = 0 (also a = 1). Die Mitternachtsformel funktioniert direkt für jedes a. Teilt man ax² + bx + c = 0 durch a, erhält man p = b/a und q = c/a.
Was bedeutet der Scheitelpunkt?
Der höchste bzw. tiefste Punkt der Parabel. Seine x-Koordinate ist −b ÷ (2a), die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen. Bei a > 0 ist er ein Minimum, bei a < 0 ein Maximum.
Und wenn die Diskriminante negativ ist?
Dann gibt es keine reelle Lösung, sondern zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen. Der Rechner zeigt sie in der Form a + bi an.
Quellen
- Quadratische Gleichung, Lösungsformel (Schulmathematik/Algebra).
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