So funktioniert der Standardabweichungs-Rechner
Die Standardabweichung ist das wichtigste Streuungsmaß der Statistik. Sie beschreibt, wie weit die einzelnen Werte einer Datenreihe im Durchschnitt von ihrem Mittelwert entfernt liegen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet: Die Werte liegen dicht beieinander. Eine große: Sie streuen weit. Der Rechner ermittelt zusätzlich die Varianz, den Mittelwert, die Spannweite und den Variationskoeffizienten – und zeigt den kompletten Rechenweg.
Die Formel
Man berechnet zuerst den Mittelwert x̄, bildet für jeden Wert die quadrierte Abweichung vom Mittelwert, summiert diese und teilt durch die Anzahl. Das Ergebnis ist die Varianz; ihre Wurzel ist die Standardabweichung. Sie hat dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten – die Varianz dagegen die quadrierte.
Stichprobe oder Grundgesamtheit?
| Fall | Teiler | Symbol | Wann |
|---|---|---|---|
| Grundgesamtheit | n | σ (sigma) | Alle Werte sind bekannt (z. B. Noten der ganzen Klasse) |
| Stichprobe | n − 1 | s | Nur eine Auswahl liegt vor und man schließt auf ein Ganzes |
Der Teiler n − 1 bei der Stichprobe heißt Bessel-Korrektur. Sie gleicht aus, dass eine Stichprobe die wahre Streuung sonst systematisch unterschätzen würde.
Beispiel
Für die Zahlenreihe 4, 8, 15, 16, 23, 42 ist der Mittelwert 18. Die Summe der quadrierten Abweichungen beträgt 910. Als Grundgesamtheit: 910 ÷ 6 = 151,67, Wurzel ≈ 12,31. Als Stichprobe: 910 ÷ 5 = 182, Wurzel ≈ 13,49.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung, die Standardabweichung ihre Quadratwurzel. Weil die Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Daten hat (z. B. Euro statt Euro²), ist sie anschaulicher und wird häufiger angegeben.
Soll ich Stichprobe oder Grundgesamtheit wählen?
Kennst du wirklich alle Werte der Gruppe, die dich interessiert, nimm die Grundgesamtheit (Teiler n). Hast du nur eine Stichprobe gezogen und willst auf ein größeres Ganzes schließen, nimm die Stichprobe (Teiler n − 1). Im Zweifel ist n − 1 die gängige Wahl.
Was sagt der Variationskoeffizient?
Er setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert (in Prozent) und macht so die Streuung verschiedener Datensätze mit unterschiedlichen Größenordnungen vergleichbar.
Was bedeutet die 68-95-99,7-Regel?
Bei annähernd normalverteilten Daten liegen rund 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zwei und rund 99,7 % innerhalb von drei.
Quellen
- Standardabweichung und Varianz (deskriptive Statistik, Sekundarstufe II / Grundstudium).
- Bessel-Korrektur (Teiler n − 1) zur erwartungstreuen Schätzung der Varianz aus einer Stichprobe.
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