So funktioniert der Wahrscheinlichkeitsrechner
Der Rechner nimmt zwei Ereignisse A und B mit ihren Einzelwahrscheinlichkeiten und leitet daraus alles ab, was sich daraus überhaupt ableiten lässt: die Schnittmenge P(A und B), die Vereinigung P(A oder B), die Gegenereignisse, die vier Grundfälle (nur A, nur B, beide, keines) und die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(B|A). Dazu kommt der Teil, der in Prüfungen und im Alltag am häufigsten gebraucht wird: Wie sieht es aus, wenn A mehrfach wiederholt wird? Der Rechner liefert dann die Binomialverteilung mit genau k, mindestens k und höchstens k Treffern, den Erwartungswert, die Standardabweichung und die Zahl der Versuche, die du für eine Chance von 50 oder 95 Prozent brauchst.
Entscheidend ist die mittlere Auswahl. Zwei Wahrscheinlichkeiten allein reichen nämlich nicht aus, um P(A und B) zu bestimmen – dafür braucht es die Beziehung zwischen den Ereignissen. Du hast drei Möglichkeiten: unabhängig (das eine verrät nichts über das andere), unvereinbar (beide können nie zusammen eintreten) oder du gibst P(A und B) selbst ein, wenn du sie kennst.
Die Formeln dahinter
Schnittmenge bei Unabhängigkeit P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Schnittmenge bei Unvereinbarkeit P(A ∩ B) = 0
Additionssatz P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
Mindestens einmal bei n Versuchen P = 1 − (1 − p)n
Genau k Treffer bei n Versuchen P = C(n,k) · pk · (1 − p)n−k
Erwartungswert und Streuung E = n · p | σ = √(n · p · (1 − p))
Der Abzug im Additionssatz ist der wichtigste Schritt. Ohne ihn würden alle Fälle, in denen A und B gemeinsam eintreten, doppelt gezählt. Genau dieser Abzug fehlt in den meisten falsch gelösten Schulaufgaben – und er ist auch der Grund, warum die Summe zweier Wahrscheinlichkeiten über 100 Prozent liegen darf, ihre Vereinigung aber nie.
Unabhängig ist nicht dasselbe wie unvereinbar
Diese beiden Begriffe werden ständig verwechselt, obwohl sie fast das Gegenteil voneinander bedeuten.
| unabhängig | unvereinbar | |
|---|---|---|
| Bedeutung | A verrät nichts über B | tritt A ein, ist B ausgeschlossen |
| P(A ∩ B) | P(A) · P(B) | 0 |
| P(A|B) | gleich P(A) | 0 |
| Beispiel | zwei Würfe mit demselben Würfel | ein Wurf: gerade Zahl und Fünf |
| Beziehung | keine | maximale Abhängigkeit |
Daraus folgt ein Satz, der viele überrascht: Zwei Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit können nie beides gleichzeitig sein. Wären sie unvereinbar und unabhängig, müsste P(A) · P(B) gleich null sein – und das geht nur, wenn eines von beiden ohnehin unmöglich ist.
Wann eine Aufgabe gar nicht lösbar ist
Bevor der Rechner rechnet, prüft er, ob die Eingaben überhaupt widerspruchsfrei sind. Für die Schnittmenge gelten zwei feste Schranken, die Fréchet-Ungleichungen:
Die Obergrenze leuchtet sofort ein: Die Schnittmenge kann nie größer sein als das kleinere der beiden Ereignisse. Die Untergrenze ist der interessantere Teil. Wenn 80 Prozent der Leute Kaffee trinken und 70 Prozent Tee, dann müssen mindestens 50 Prozent beides trinken – ganz gleich, wie die Vorlieben verteilt sind. Es bleibt schlicht kein Platz für mehr Trennung, denn 20 Prozent Nicht-Kaffeetrinker können höchstens 20 der 70 Teetrinker aufnehmen.
| P(A) | P(B) | erlaubte Spanne für P(A ∩ B) | bei Unabhängigkeit |
|---|---|---|---|
| 80 % | 70 % | 50 % bis 70 % | 56 % |
| 50 % | 30 % | 0 % bis 30 % | 15 % |
| 90 % | 90 % | 80 % bis 90 % | 81 % |
| 20 % | 10 % | 0 % bis 10 % | 2 % |
Liegt dein Wert über dem Produkt in der letzten Spalte, ziehen sich die Ereignisse an: Tritt A ein, wird B wahrscheinlicher. Liegt er darunter, stoßen sie sich ab. Genau das steht auch im Ergebnis unter „Sind A und B unabhängig?“.
Warum Seltenes bei vielen Versuchen häufig wird
Die zweite große Fehlerquelle ist die Wiederholung. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu treffen, wächst nicht linear mit der Zahl der Versuche, sondern nähert sich einer Grenze.
| Einzelwahrscheinlichkeit | Versuche | mindestens ein Treffer | Versuche für 50 % | Versuche für 95 % |
|---|---|---|---|---|
| 1/6 (Würfel) | 6 | 66,5102 % | 4 | 17 |
| 1/6 (Würfel) | 24 | 98,7421 % | 4 | 17 |
| 5 % | 20 | 64,1514 % | 14 | 59 |
| 1 % | 100 | 63,3968 % | 69 | 299 |
| 50 % | 10 | 99,9023 % | 1 | 5 |
In den mittleren Zeilen steckt eine der schönsten Zahlen der Stochastik. Wer ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1 zu n genau n-mal versucht, landet nicht bei 100 Prozent, sondern nähert sich von unten immer demselben Wert: 1 − 1/e, also rund 63,2 Prozent. Sechsmal würfeln bringt die Sechs mit 66,5 Prozent, hundertmal ein Ein-Prozent-Ereignis mit 63,4 Prozent. Die Zahl 63,2 Prozent ist der Grenzwert, dem sich die Reihe für große n annähert.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Zwei unabhängige Ereignisse, P(A) = 50 Prozent und P(B) = 30 Prozent. Der Rechner liefert:
| Frage | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Beide treten ein | 0,5 · 0,3 | 15 % |
| Mindestens eines | 0,5 + 0,3 − 0,15 | 65 % |
| Genau eines von beiden | (0,5 − 0,15) + (0,3 − 0,15) | 50 % |
| Keines von beiden | 1 − 0,65 | 35 % |
| A, wenn B schon eingetreten ist | 0,15 ÷ 0,3 | 50 % |
Die letzte Zeile ist die Probe auf Unabhängigkeit: P(A|B) ist genau so groß wie P(A). Das Wissen über B ändert nichts an A – exakt das ist mit Unabhängigkeit gemeint. Wären die beiden dagegen unvereinbar, käme dieselbe Rechnung auf 0 Prozent heraus, und aus 65 Prozent Vereinigung würden 80.
Häufige Fragen
Wie rechne ich „1 von 6″ in Prozent um?
Teile eins durch die Anzahl der Möglichkeiten und nimm mal 100. Aus 1 von 6 werden 16,6667 Prozent, aus 1 von 20 werden 5 Prozent, aus 1 von 1.000 werden 0,1 Prozent. Umgekehrt teilst du 100 durch den Prozentwert: 4 Prozent entsprechen etwa 1 von 25. Der Rechner zeigt diese Umrechnung im Ergebnis unter „Chance für A als Verhältnis“ gleich mit an – dort steht sowohl das Chancenverhältnis 1 : x als auch die Lesart „1 von y“.
Warum ergibt P(A) + P(B) manchmal über 100 Prozent?
Weil sich die beiden Ereignisse überlappen dürfen. Dass 80 Prozent der Leute Kaffee und 70 Prozent Tee trinken, ist kein Widerspruch – zusammen sind das 150 Prozent, aber die Vereinigung bleibt bei höchstens 100 Prozent, weil die Doppeltrinker eben nur einmal zählen. Erst wenn du beide Ereignisse als unvereinbar erklärst, darf die Summe 100 Prozent nicht überschreiten. Genau das prüft der Rechner und meldet sonst einen Widerspruch.
Was ist der Unterschied zwischen P(A und B) und P(A|B)?
P(A und B) fragt vom Startpunkt aus: Wie wahrscheinlich ist es, dass beides passiert? P(A|B) fragt nachträglich: B ist bereits eingetreten – wie wahrscheinlich ist jetzt noch A? Der zweite Wert ist immer größer oder gleich dem ersten, weil er sich nur noch auf den Teil der Fälle bezieht, in denen B eingetreten ist. Wer beides verwechselt, produziert den klassischen Fehlschluss aus Medizin und Justiz: Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests bei Krankheit ist etwas völlig anderes als die Wahrscheinlichkeit einer Krankheit bei positivem Test.
Gilt die Wiederholungsrechnung auch beim Ziehen ohne Zurücklegen?
Nein. Die Binomialverteilung setzt voraus, dass sich die Wahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch nicht ändert – wie beim Würfeln, beim Münzwurf oder beim Ziehen mit Zurücklegen. Ziehst du ohne Zurücklegen, etwa Karten aus einem Stapel oder Lose aus einer Trommel, sinkt oder steigt die Wahrscheinlichkeit mit jedem Zug. Dafür ist die hypergeometrische Verteilung zuständig. Als Faustregel gilt: Ist die Stichprobe kleiner als fünf Prozent der Grundgesamtheit, ist der Unterschied vernachlässigbar.
Warum wird ein 50-Prozent-Ereignis bei zwei Versuchen nicht sicher?
Weil sich Wahrscheinlichkeiten nicht addieren lassen, sondern über das Gegenereignis multipliziert werden. Zweimal 50 Prozent ergeben nicht 100, sondern 1 − 0,5 · 0,5 = 75 Prozent. Der Rest, ein Viertel aller Fälle, ist genau die Möglichkeit, dass beide Versuche danebengehen. Diese Multiplikationsregel steckt hinter jeder „mindestens einmal“-Aufgabe.
Was sagt die Standardabweichung bei n Versuchen aus?
Sie beschreibt, wie stark die Trefferzahl um den Erwartungswert schwankt. Bei 10 Münzwürfen erwartest du 5 Treffer bei einer Standardabweichung von 1,58 – typisch sind also etwa 3 bis 7 Kopfwürfe, und exakt fünfmal Kopf hat nur eine Wahrscheinlichkeit von 24,6094 Prozent. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert über viele Wiederholungen, keine Prognose für den einzelnen Durchgang.
Quellen
- Kolmogorow-Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Nichtnegativität, Normierung auf 1 und Additivität unvereinbarer Ereignisse als Grundlage aller hier verwendeten Rechenregeln.
- Additionssatz und Multiplikationssatz sowie die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit nach P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) – Standardstoff der Sekundarstufe II in allen Bundesländern.
- Fréchet-Ungleichungen (Maurice Fréchet, 1935) – obere und untere Schranken für die Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge bei bekannten Randwahrscheinlichkeiten.
- Binomialverteilung nach Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi (1713) – Modell für n unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit.
- Bildungspläne und Kernlehrpläne der Länder für das Fach Mathematik, Leitidee Daten und Zufall – Abgrenzung von Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit sowie Baumdiagramm und Vierfeldertafel als Standardwerkzeuge.
Mehr aus dieser Kategorie: Mathe-Rechner: Prozent, Bruch & Geometrie
Auch beliebt: Mehrwertsteuer-Rechner · Kreditrechner · Prozentrechner
Entdecke über 40 Rechner für jeden Tag auf rechnido – kostenlos und ohne Anmeldung.