So funktioniert der Logarithmus-Rechner
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Frage „logb(x)“ bedeutet: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis b potenzieren, um die Zahl x zu erhalten? Aus by = x folgt also y = logb(x). Der Rechner ermittelt den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis und zeigt dir zusätzlich die drei wichtigsten Sonderfälle sowie einen nachvollziehbaren Rechenweg und eine Probe.
Die Formel (Basiswechsel)
Weil Taschenrechner nur ln (Basis e) und lg (Basis 10) direkt kennen, wird jeder Logarithmus über den Basiswechsel berechnet: Man teilt den natürlichen Logarithmus des Numerus durch den natürlichen Logarithmus der Basis. Das Ergebnis ist unabhängig davon, ob man ln oder lg zum Umrechnen nutzt.
Die drei gebräuchlichen Logarithmen
| Name | Basis | Schreibweise | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Natürlicher Logarithmus | e ≈ 2,718 | ln(x) | ln(e) = 1 |
| Zehnerlogarithmus (dekadisch) | 10 | lg(x) / log(x) | lg(1.000) = 3 |
| Zweierlogarithmus (binär) | 2 | lb(x) / log₂(x) | lb(8) = 3 |
Die wichtigsten Logarithmengesetze
| Regel | Formel |
|---|---|
| Produkt | log(a · b) = log(a) + log(b) |
| Quotient | log(a ÷ b) = log(a) − log(b) |
| Potenz | log(aⁿ) = n · log(a) |
| Logarithmus von 1 | logb(1) = 0 |
Beispiel
log10(1.000) fragt: 10 hoch wie viel ergibt 1.000? Da 10³ = 1.000 ist, lautet die Antwort 3. Über den Basiswechsel: ln(1.000) ÷ ln(10) = 6,9078 ÷ 2,3026 = 3. Beim Zehnerlogarithmus zählt das Ergebnis anschaulich die Nullen bzw. die Größenordnung einer Zahl.
Häufige Fragen
Warum ist der Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen nicht definiert?
Weil keine noch so große oder kleine Potenz einer positiven Basis jemals 0 oder eine negative Zahl ergeben kann. Der Numerus x muss deshalb echt größer als 0 sein.
Was ist der Unterschied zwischen ln, lg und log?
ln ist der Logarithmus zur Basis e (≈ 2,718), lg der zur Basis 10. „log“ wird uneinheitlich verwendet: In der Schule und auf Taschenrechnern meint log meist die Basis 10, in der Informatik oft die Basis 2 und in der höheren Mathematik häufig die Basis e.
Wozu braucht man Logarithmen im Alltag?
Viele Skalen sind logarithmisch, weil sie riesige Wertebereiche handhabbar machen: die Richterskala für Erdbebenstärke, die Dezibel-Skala für Lautstärke und der pH-Wert in der Chemie. Ein Schritt auf der Skala bedeutet jeweils das Zehnfache.
Warum ist log(1) immer 0?
Weil jede Basis hoch 0 gleich 1 ist (b⁰ = 1). Gesucht ist der Exponent, der die Basis auf 1 bringt – und das ist stets 0, egal welche Basis.
Quellen
- Logarithmengesetze und Basiswechselsatz (Schulmathematik, Sekundarstufe I/II).
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