So funktioniert der Kombinatorik-Rechner
Die Kombinatorik beantwortet die Frage: Auf wie viele Arten lassen sich Dinge auswählen oder anordnen? Zwei Fragen entscheiden, welche Formel gilt: Kommt es auf die Reihenfolge an (dann Variation), oder nicht (dann Kombination)? Und darf ein Element mehrfach vorkommen (mit Wiederholung) oder nicht? Aus diesen zwei Fragen ergeben sich vier Grundfälle – dazu kommt die Fakultät n! als Sonderfall, bei dem alle n Elemente angeordnet werden. Der Rechner deckt alle Fälle ab und zeigt den Rechenweg.
Die Formeln
C(n, k) heißt Binomialkoeffizient und wird „n über k“ gesprochen – es ist die Zahl der Möglichkeiten, aus n Dingen k auszuwählen, ohne dass die Reihenfolge zählt. V(n, k) zählt dieselbe Auswahl, wenn die Reihenfolge zählt. Die Fakultät n! ist die Zahl der Möglichkeiten, n verschiedene Dinge komplett anzuordnen.
Die vier Grundfälle
| Reihenfolge | ohne Wiederholung | mit Wiederholung |
|---|---|---|
| wichtig (Variation) | n! / (n−k)! | nᵏ |
| egal (Kombination) | n! / (k!·(n−k)!) | (n+k−1)! / (k!·(n−1)!) |
Faustregel: „Reihenfolge zählt“ → Variation, „Reihenfolge egal“ → Kombination; „darf sich wiederholen“ → mit Wiederholung. Die vier Zellen der Tabelle decken alle klassischen Abzähl-Aufgaben ab.
Beispiel
Lotto „6 aus 49″: Es werden 6 aus 49 Kugeln gezogen, die Reihenfolge ist egal und keine Kugel wiederholt sich – also Kombination ohne Wiederholung. C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13.983.816. Die Chance auf sechs Richtige liegt damit bei rund 1 : 14 Millionen. Käme es auf die Ziehungsreihenfolge an, wären es V(49, 6) = 10.068.347.520 Möglichkeiten.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Variation und Kombination?
Bei der Variation zählt die Reihenfolge (AB ist etwas anderes als BA), bei der Kombination nicht (AB = BA). Ein Zahlenschloss braucht daher genau genommen eine Variation, eine Lotto-Ziehung eine Kombination.
Was bedeutet „n über k“?
„n über k“ ist der Binomialkoeffizient C(n, k) – die Anzahl der Möglichkeiten, aus n Elementen k auszuwählen, ohne Rücksicht auf die Reihenfolge. Er steht auch im Pascalschen Dreieck und im binomischen Lehrsatz.
Was ist die Fakultät n!?
n! (sprich „n Fakultät“) ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n und gibt an, auf wie viele Arten man n verschiedene Dinge anordnen kann. Es gilt 0! = 1 und z. B. 5! = 120.
Wann rechne ich „mit Wiederholung“?
Immer dann, wenn ein Element mehrfach ausgewählt werden darf – etwa beim Würfeln (jede Augenzahl kann mehrmals fallen) oder bei einer PIN, in der sich Ziffern wiederholen dürfen.
Quellen
- Grundformeln der Kombinatorik: Permutation, Variation und Kombination mit und ohne Wiederholung (Stochastik, Sekundarstufe II).
- Binomialkoeffizient „n über k“ und Fakultät als Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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