So funktioniert der Dreiecksrechner
Der Dreiecksrechner ermittelt aus den drei Seitenlängen a, b und c alles Wesentliche über ein Dreieck: die Fläche, den Umfang, alle drei Innenwinkel und die Höhe. Grundlage sind zwei klassische Sätze der Geometrie – der Satz des Heron für die Fläche und der Kosinussatz für die Winkel. Bevor gerechnet wird, prüft der Rechner die Dreiecksungleichung: Nur wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen, existiert überhaupt ein Dreieck.
Die Formeln
α = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2·b·c)) · hₐ = 2·A ÷ a
Rechenbeispiel: das 3-4-5-Dreieck
Für a = 3, b = 4 und c = 5 ist der halbe Umfang s = 6. Damit wird A = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Der Umfang beträgt 12. Über den Kosinussatz ergeben sich die Winkel 36,87°, 53,13° und 90° – das 3-4-5-Dreieck ist also rechtwinklig, was schon die alten Ägypter zum Abstecken rechter Winkel nutzten.
Arten von Dreiecken
| Nach den Seiten | Nach den Winkeln |
|---|---|
| gleichseitig – alle drei Seiten gleich | spitzwinklig – alle Winkel unter 90° |
| gleichschenklig – zwei Seiten gleich | rechtwinklig – ein Winkel genau 90° |
| ungleichseitig – alle Seiten verschieden | stumpfwinklig – ein Winkel über 90° |
Häufige Fragen
Warum reichen drei Seiten aus, um alles zu berechnen?
Drei Seitenlängen legen ein Dreieck eindeutig fest (Kongruenzsatz SSS). Damit stehen auch Fläche, Winkel und Höhen fest – es gibt kein zweites Dreieck mit denselben drei Seiten und anderen Winkeln.
Was besagt die Dreiecksungleichung?
In jedem Dreieck ist jede Seite kürzer als die Summe der beiden anderen. Ist eine Seite genauso lang oder länger, lassen sich die Seiten nicht zu einem geschlossenen Dreieck zusammenfügen – der Rechner meldet dann „kein Dreieck“.
Ergeben die Winkel immer 180°?
Ja. In der ebenen (euklidischen) Geometrie ist die Summe der drei Innenwinkel stets exakt 180°. Der Rechner zeigt die Summe zur Kontrolle mit an.
Was ist die Höhe eines Dreiecks?
Die Höhe ist der senkrechte Abstand einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite (Grundseite). Aus Fläche und Grundseite folgt sie direkt: hₐ = 2·A ÷ a. Jedes Dreieck hat drei Höhen – eine je Seite.
Quellen
- Satz des Heron, Kosinussatz, Kongruenzsätze (Schulgeometrie, Sekundarstufe I/II).
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