So funktioniert der Vektorrechner
Der Rechner deckt die sieben Aufgabentypen ab, die in der analytischen Geometrie tatsächlich vorkommen: Grundrechnen mit Vektoren, Skalarprodukt und Winkel, Kreuzprodukt und Flächen, Spatprodukt und Volumen, Betrag und Einheitsvektor, Geraden durch zwei Punkte und Ebenen durch drei Punkte. Die Komponenten kommen hintereinander in ein Feld, getrennt durch Leerzeichen oder Semikolon – also 1 2 3 oder 1;2;3. Erlaubt sind ganze Zahlen, Kommazahlen wie 2,5 und Brüche wie 3/4.
Zwei Dinge unterscheiden ihn von der üblichen Zahlenausgabe. Erstens steht zu jedem Ergebnis der vollständige Rechenweg in derselben Form, in der er in einer Klausur erwartet wird – samt der Proben, die man ohnehin machen sollte. Zweitens werden Beträge zusätzlich exakt als Wurzel angegeben, wenn der Radikand ganzzahlig ist: also √14 statt bloß 3,7417 und 3 · √6 statt 7,3485. Genau diese Form verlangen Lehrkräfte, und genau diese Form liefern die meisten Online-Rechner nicht.
Die Formeln auf einen Blick
Skalarprodukt: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| · |b| · cos φ
Winkel: cos φ = (a · b) / (|a| · |b|)
Kreuzprodukt: a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ ; a₃b₁ − a₁b₃ ; a₁b₂ − a₂b₁)
Fläche: |a × b| = |a| · |b| · sin φ, Dreieck = die Hälfte davon
Spatprodukt: a · (b × c) = Volumen des Spats, Tetraeder = ein Sechstel
Der Unterschied zwischen den beiden Produkten steckt allein in der Winkelfunktion. Beim Skalarprodukt steht der Kosinus – deshalb wird es null, wenn die Vektoren senkrecht stehen. Beim Kreuzprodukt steht der Sinus – deshalb wird es null, wenn sie parallel sind. Wer sich nur diesen einen Satz merkt, hat die halbe Vektorrechnung im Griff.
Was welche Operation voraussetzt
| Operation | Voraussetzung | Ergebnis |
|---|---|---|
| a + b, a − b | gleich viele Komponenten | Vektor |
| k · a | keine | Vektor, |k|-fache Länge |
| a · b (Skalarprodukt) | gleich viele Komponenten | eine Zahl |
| Winkel φ | beide Vektoren ungleich dem Nullvektor | 0° bis 180° |
| a × b (Kreuzprodukt) | genau drei Komponenten | Vektor senkrecht auf beiden |
| a · (b × c) | drei Vektoren mit je drei Komponenten | eine Zahl mit Vorzeichen |
| |a|, Einheitsvektor | für a⁰ zusätzlich a ≠ Nullvektor | Zahl bzw. Vektor der Länge 1 |
| Gerade durch P und Q | P ≠ Q | Parameterform |
| Ebene durch P, Q, R | die drei Punkte nicht auf einer Geraden | Parameter-, Normalen- und Koordinatenform |
Passt etwas nicht zusammen, nennt der Rechner den Grund und den Ausweg – etwa dass ein ebener Vektor für das Kreuzprodukt mit einer dritten Komponente 0 ergänzt werden kann, das Kreuzprodukt dann in z-Richtung zeigt und sein Betrag die Fläche in der Ebene ist.
Beispiele, an denen sich die Regeln ablesen lassen
| Vektor a | Vektor b | a · b | Winkel | a × b | Fläche |
|---|---|---|---|---|---|
| (1 ; 0 ; 0) | (0 ; 1 ; 0) | 0 | 90° | (0 ; 0 ; 1) | 1 |
| (3 ; 0 ; 0) | (0 ; 4 ; 0) | 0 | 90° | (0 ; 0 ; 12) | 12 |
| (1 ; −1 ; 0) | (1 ; 1 ; 0) | 0 | 90° | (0 ; 0 ; 2) | 2 |
| (1 ; 1 ; 0) | (1 ; 0 ; 1) | 1 | 60° | (1 ; −1 ; −1) | 1,7321 |
| (1 ; 2 ; 3) | (4 ; 5 ; 6) | 32 | 12,93° | (−3 ; 6 ; −3) | 7,3485 |
| (2 ; 0 ; 0) | (3 ; 0 ; 0) | 6 | 0° | (0 ; 0 ; 0) | 0 |
| (1 ; 2 ; 3) | (2 ; 4 ; 6) | 28 | 0° | (0 ; 0 ; 0) | 0 |
| Werte aus Läufen dieses Rechners. Die drei ersten Zeilen zeigen das Orthogonalitätskriterium, die beiden letzten das Kollinearitätskriterium. | |||||
Bemerkenswert ist die vorletzte Zeile: Das Skalarprodukt ist mit 6 deutlich von null verschieden, das Kreuzprodukt aber der Nullvektor. Beides zusammen heißt: parallel. Ein großes Skalarprodukt sagt für sich genommen also nichts über die Länge der Vektoren, sondern nur etwas über die Richtung im Verhältnis zu den Längen.
Beträge exakt statt gerundet
In Klausuren wird die Wurzel stehen gelassen, nicht ausgerechnet. Der Rechner zieht deshalb aus dem Radikanden heraus, was sich herausziehen lässt:
| Vektor | Quadratsumme | Betrag exakt | Betrag gerundet | Einheitsvektor |
|---|---|---|---|---|
| (3 ; 4) | 25 | 5 | 5 | (0,6 ; 0,8) |
| (1 ; 2 ; 2) | 9 | 3 | 3 | (0,3333 ; 0,6667 ; 0,6667) |
| (2 ; 2 ; 1) | 9 | 3 | 3 | (0,6667 ; 0,6667 ; 0,3333) |
| (1 ; 1 ; 0) | 2 | √2 | 1,4142 | (0,7071 ; 0,7071 ; 0) |
| (1 ; 1 ; 1) | 3 | √3 | 1,7321 | (0,5774 ; 0,5774 ; 0,5774) |
| (1 ; 2 ; 3) | 14 | √14 | 3,7417 | (0,2673 ; 0,5345 ; 0,8018) |
| Werte aus Läufen dieses Rechners. Die ersten drei Zeilen sind pythagoreische Tripel – dort geht die Wurzel glatt auf. | ||||
Geraden und Ebenen: welche Form wofür
Dieselbe Gerade und dieselbe Ebene lassen sich auf mehrere Arten hinschreiben, und jede Form ist für eine andere Frage gemacht. Wer die Wahl beherrscht, spart in Aufgaben die Hälfte der Rechnung:
| Form | Aussehen | Gut für |
|---|---|---|
| Parameterform Gerade | x = P + t · u | Punkte auf der Geraden erzeugen, Schnittpunkte bestimmen |
| Parameterform Ebene | x = P + s · u + t · w | Punkte in der Ebene erzeugen, Anschauung |
| Normalenform | n · (x − P) = 0 | prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt |
| Koordinatenform | n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d | Spurpunkte, Schnitt mit Koordinatenachsen, schnelles Einsetzen |
| Hessesche Normalform | dieselbe Gleichung, geteilt durch |n| | Abstand eines Punktes direkt ablesen, Seite bestimmen |
Der Rechner liefert alle Formen gleichzeitig, weil der Weg dorthin immer derselbe ist: Aus den drei Punkten werden zwei Spannvektoren, aus deren Kreuzprodukt der Normalenvektor, und aus dem Normalenvektor mit dem Aufpunkt die Koordinatenform. Der Vorteil der Hesseschen Normalform ist dabei der größte: Setzt man einen beliebigen Punkt ein und zieht die rechte Seite ab, steht der Abstand zur Ebene ohne jede weitere Rechnung da – und das Vorzeichen sagt zusätzlich, auf welcher Seite der Punkt liegt.
Beim Abstand eines Punktes von einer Geraden geht es anders: Dort wird der Lotfußpunkt über die Projektion gesucht. Der Parameter t = ((T − P) · u) / (u · u) sagt, wie weit man vom Aufpunkt aus in Richtung u laufen muss, um genau neben T zu stehen. Der Rest ist ein Betrag. Diese Rechnung ist auch der Grund, warum die Projektion in der Physik überall auftaucht: Bei der Arbeit W = F · s zählt ebenfalls nur der Anteil der Kraft, der in Wegrichtung zeigt.
Die drei häufigsten Fehler
Das Minuszeichen in der mittleren Zeile des Kreuzprodukts. Die zweite Komponente lautet a₃b₁ − a₁b₃, also mit vertauschter Reihenfolge gegenüber dem Muster der anderen beiden. Wer das Schema stur von oben nach unten abschreibt, bekommt das Vorzeichen falsch. Die Probe kostet zehn Sekunden: Das Ergebnis mal a und mal b muss jeweils 0 ergeben – der Rechner führt sie in jedem Durchgang mit.
Skalar- und Kreuzprodukt verwechseln. Das Skalarprodukt liefert eine Zahl, das Kreuzprodukt einen Vektor. Steht in einer Aufgabe „senkrecht“, ist fast immer das Skalarprodukt gemeint (es soll 0 sein); steht dort „Fläche“, „Normalenvektor“ oder „senkrecht auf beiden“, ist es das Kreuzprodukt.
Die Reihenfolge beim Verbindungsvektor. Der Vektor von A nach B ist b − a, nicht a − b – also Spitze minus Fuß. Wer es dreht, bekommt beim Abstand dasselbe Ergebnis (der Betrag ist gleich), bei Richtungen, Winkeln und Orientierungen aber das Gegenteil.
Häufige Fragen
Wann sind zwei Vektoren parallel, wann senkrecht?
Senkrecht (orthogonal) sind sie genau dann, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Parallel (kollinear) sind sie genau dann, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist – im Raum prüft man das am bequemsten über das Kreuzprodukt: Ist es der Nullvektor, sind sie parallel. Beides schließt einander aus, außer wenn einer der beiden der Nullvektor ist; der ist zu jedem Vektor gleichzeitig orthogonal und kollinear und hat deshalb keinen definierten Winkel.
Warum gibt es das Kreuzprodukt nur im Dreidimensionalen?
Weil die Forderung, aus zwei Vektoren wieder einen Vektor zu machen, der auf beiden senkrecht steht und dessen Länge die aufgespannte Fläche ist, in den meisten Dimensionen nicht erfüllbar ist. In der Ebene gibt es zu zwei Richtungen keine dritte, die auf beiden senkrecht steht; im Vierdimensionalen gibt es dagegen zu viele. Beweisbar funktioniert es nur in drei und – als mathematische Kuriosität – in sieben Dimensionen. Was in beliebigen Dimensionen funktioniert, ist das äußere Produkt, das statt eines Vektors ein Flächenelement liefert.
Wie viele Nachkommastellen soll ich angeben?
Bei Winkeln sind zwei Nachkommastellen üblich, bei Längen und Koordinaten reichen meist drei. Wichtiger als die Stellenzahl ist, exakte Zwischenergebnisse nicht zu runden: Wer den Betrag als 3,74 notiert und damit weiterrechnet, sammelt Fehler. Rechne mit √14 und runde erst im letzten Schritt – deshalb zeigt der Rechner beide Formen nebeneinander an.
Kann ich damit auch Aufgaben in der Ebene lösen?
Ja. Addieren, Subtrahieren, Skalarprodukt, Winkel, Betrag, Einheitsvektor, Abstand und Geraden funktionieren mit zwei Komponenten genauso wie mit drei – gib einfach 3 4 statt 3 4 0 ein. Für Kreuzprodukt, Spatprodukt und Ebenen ergänzt du die dritte Komponente mit 0; das Kreuzprodukt zeigt dann in z-Richtung, und sein Betrag ist die Fläche in der Ebene. Skalarprodukt, Betrag und Abstand rechnet dieser Rechner sogar bis zu sechs Komponenten – in der linearen Algebra ist das ganz normal, nur anschaulich wird es dort nicht mehr.
Wozu braucht man das außerhalb der Schule?
Überall dort, wo Richtung und Größe zusammen auftreten. In der Computergrafik entscheidet ein Skalarprodukt aus Lichtrichtung und Flächennormale über jeden Helligkeitswert auf dem Bildschirm; das Kreuzprodukt liefert die Normale zu jeder Dreiecksfläche eines 3D-Modells. In der Mechanik ist das Drehmoment ein Kreuzprodukt aus Hebelarm und Kraft, die Arbeit ein Skalarprodukt aus Kraft und Weg. In der Navigation setzen sich Kurs und Windversatz vektoriell zusammen, und in der Statistik ist die Korrelation zweier Datenreihen nichts anderes als der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren.
Quellen und Grundlagen
- Gerd Fischer: „Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger“ – Skalarprodukt, Orthogonalität, Betrag und Normierung.
- Lothar Papula: „Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“, Band 1 – Kreuzprodukt, Spatprodukt und ihre geometrische Deutung als Fläche und Volumen.
- William Rowan Hamilton (1843/1853): Quaternionen als Ursprung des Vektorbegriffs; die heutige Schreibweise mit getrenntem Skalar- und Kreuzprodukt geht auf Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside (um 1880) zurück.
- Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife im Fach Mathematik (Kultusministerkonferenz), Leitidee „Raum und Form“ – Umfang der in der Oberstufe behandelten analytischen Geometrie.
- Alle Tabellenwerte dieser Seite stammen aus Durchläufen des Rechners auf dieser Seite und wurden gegen eine unabhängige Berechnung gegengeprüft.
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