So funktioniert der Potenzrechner
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für wiederholtes Multiplizieren. In der Schreibweise an heißt a die Basis und n der Exponent (die Hochzahl). Bei einem positiven, ganzzahligen Exponenten wird die Basis n-mal mit sich selbst multipliziert. Der Rechner beherrscht darüber hinaus negative Exponenten (Kehrwerte) und gebrochene Exponenten (Wurzeln) und zeigt zu jedem Ergebnis einen nachvollziehbaren Rechenweg.
Die Formel
Die wichtigsten Potenzgesetze
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleiche Basis multiplizieren | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2² = 2⁵ = 32 |
| Gleiche Basis dividieren | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8 |
| Potenz einer Potenz | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2²)³ = 2⁶ = 64 |
| Exponent null | a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 |
| Negativer Exponent | a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ | 2⁻³ = 1 ÷ 8 = 0,125 |
Beispiel
2 hoch 10 bedeutet, die Zahl 2 zehnmal miteinander zu multiplizieren: 2 · 2 · 2 · … · 2 = 1.024. Genau dieses Wachstum steckt hinter Kilobyte (2¹⁰ = 1.024 Byte) und der berühmten Schachbrett-Legende mit dem Reiskorn.
Häufige Fragen
Warum ist jede Zahl hoch 0 gleich 1?
Weil beim Dividieren gleicher Basen die Exponenten subtrahiert werden: aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Da aⁿ ÷ aⁿ zugleich 1 ist, muss a⁰ = 1 gelten (für jede Basis außer 0).
Was bedeutet ein negativer Exponent?
Ein Minuszeichen im Exponenten steht für den Kehrwert: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Beispiel: 10⁻² = 1 ÷ 100 = 0,01. Das Ergebnis wird also kleiner, nicht negativ.
Was ist ein gebrochener Exponent?
Ein Bruch im Exponenten bedeutet Wurzelziehen: a^(1/n) = ⁿ√a. So ist 9^0,5 = √9 = 3 und 8^(1/3) = ∛8 = 2. Negative Basen mit gebrochenem Exponenten haben keine reelle Lösung.
Was ist der Unterschied zwischen 2³ und 3²?
2³ = 2·2·2 = 8, während 3² = 3·3 = 9. Basis und Exponent sind nicht vertauschbar – die Potenz ist nicht kommutativ.
Quellen
- Potenzgesetze und Potenzrechnung (Schulmathematik, Sekundarstufe I/II).
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