So funktioniert der Matrix-Rechner
Der Rechner nimmt eine oder zwei Matrizen entgegen und rechnet neun verschiedene Dinge damit: Determinante, Inverse, Rang mit Kern, lineare Gleichungssysteme, Produkt, Summe, Differenz, Vielfaches und Transponierte. Jede Zeile der Matrix kommt in eine eigene Textzeile, die Werte werden durch Leerzeichen getrennt. Erlaubt sind ganze Zahlen, Kommazahlen wie 2,5 und Brüche wie 3/4 – gerechnet wird bis 8 × 8.
Anders als bei den meisten Online-Rechnern bleibt das Ergebnis nicht bei der Zahl stehen. Zu jeder Aufgabe gehört ein ausgeschriebener Rechenweg, dazu die Kennzahlen, die man ohnehin gleich braucht: Rang, Determinante, Spur, Symmetrie und die Frage, ob die Matrix invertierbar ist. Beim Gleichungssystem wird zusätzlich beantwortet, warum es eindeutig, unlösbar oder unendlich lösbar ist – mit der vollständigen Lösungsmenge samt Kernvektoren, wenn es unendlich viele Lösungen gibt.
Was die neun Operationen voraussetzen
Die häufigste Fehlerquelle bei Matrizen ist nicht das Rechnen, sondern das Format. Diese Übersicht sagt, was zusammenpasst:
| Operation | Voraussetzung | Format des Ergebnisses |
|---|---|---|
| A + B, A − B | beide Matrizen exakt gleich groß | wie A |
| k · A | keine | wie A |
| A · B | Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B | Zeilen von A × Spalten von B |
| Aᵀ | keine | Zeilen und Spalten vertauscht |
| det A | quadratisch | eine Zahl |
| A⁻¹ | quadratisch und det A ≠ 0 | wie A |
| Rang, Kern | keine | eine Zahl und ein Unterraum |
| A · x = b | b hat so viele Werte wie A Zeilen | Vektor, Menge oder nichts |
Für das Produkt gilt die Merkregel: Bei „(3 × 2) · (2 × 4)“ müssen die beiden inneren Zahlen gleich sein, die beiden äußeren geben das Format des Ergebnisses – hier also 3 × 4. Passt es nicht, sagt der Rechner nicht bloß „Fehler“, sondern welche Zahl mit welcher kollidiert und welches Format B haben müsste.
Die Determinante und was sie verrät
3 × 3 (Regel von Sarrus): drei fallende Diagonalprodukte minus drei steigende
ab 4 × 4: Gauß-Verfahren – Produkt der Pivotelemente mal (−1) hoch Anzahl der Zeilentausche
Die Regel von Sarrus mit dem hübschen Diagonalenschema gilt ausschließlich für 3 × 3. Bei 4 × 4 liefert sie falsche Ergebnisse, und weil das Schema so verführerisch übertragbar aussieht, ist das einer der häufigsten Klausurfehler überhaupt. Der Rechner wechselt deshalb ab 4 × 4 automatisch auf das Gauß-Verfahren und schreibt das auch dazu.
Rechenregeln, die man beim Umformen immer wieder braucht:
| Regel | Aussage | Merkhilfe |
|---|---|---|
| det(Aᵀ) | = det A | Transponieren ändert nichts |
| det(A · B) | = det A · det B | gilt immer, auch wenn A · B ≠ B · A |
| det(k · A) | = kn · det A | bei 3 × 3 verachtfacht Verdoppeln die Determinante |
| det(A⁻¹) | = 1 / det A | deshalb geht det A = 0 nicht |
| det(A + B) | hat nichts mit det A + det B zu tun | die beliebteste Falschannahme |
| Zeilentausch | dreht das Vorzeichen um | zwei Tausche heben sich auf |
| Zeile mal Zahl | multipliziert die Determinante mit derselben Zahl | Ausklammern erlaubt, aber sichtbar |
| Vielfaches addieren | ändert die Determinante nicht | das Arbeitspferd beim Gauß-Verfahren |
Anschaulich ist der Betrag der Determinante der Faktor, um den die zugehörige lineare Abbildung Flächen (2 × 2) oder Volumina (3 × 3) streckt. Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Orientierung gespiegelt wird. Und eine Determinante von null heißt: Der Raum fällt auf eine Ebene, eine Gerade oder den Nullpunkt zusammen – was einmal platt gedrückt ist, lässt sich nicht mehr eindeutig zurückholen. Genau deshalb existiert dann keine Inverse.
Gleichungssysteme: lösbar, unlösbar, unendlich
Ob ein System A · x = b lösbar ist, entscheidet nicht die Zahl der Gleichungen, sondern der Rang. Das Kriterium von Kronecker und Capelli vergleicht den Rang von A mit dem Rang der um b erweiterten Matrix (A|b):
| Rang A | Rang (A|b) | Unbekannte n | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| r | r + 1 | beliebig | keine Lösung – die Gleichungen widersprechen sich |
| r | r | n = r | genau eine Lösung |
| r | r | n > r | unendlich viele Lösungen, (n − r) Parameter frei |
Der dritte Fall ist der interessante, und dort hören die meisten Rechner auf. Dieser hier gibt die Lösungsmenge vollständig aus: eine spezielle Lösung plus die Richtungsvektoren, die den Kern von A aufspannen. Wer x = (2 ; 3 ; 0) + t · (1 ; −1 ; 1) liest, sieht sofort, dass die Lösungen auf einer Geraden liegen – und t darf jede beliebige Zahl sein.
Bei einem eindeutig lösbaren System macht der Rechner außerdem die Probe: Die gefundene Lösung wird in jede Ausgangsgleichung eingesetzt und beide Seiten werden verglichen. Das ist der Schritt, den man von Hand am liebsten überspringt und der die meisten Vorzeichenfehler fängt.
Rang und Kern – die zwei Zahlen hinter allem
Der Rang ist die Zahl der Zeilen in der Zeilenstufenform, die nicht komplett aus Nullen bestehen. Er sagt, wie viel Information wirklich in der Matrix steckt: Eine 3 × 3-Matrix mit Rang 1 enthält im Grunde nur eine einzige Zeile, die beiden anderen sind Vielfache davon. Der Rechner zeigt die Zeilenstufenform mit an und benennt die Pivotspalten – deren Originalspalten bilden eine Basis des Spaltenraums.
Bemerkenswert und für Klausuren wichtig: Zeilenrang und Spaltenrang sind bei jeder Matrix gleich, auch bei nicht-quadratischen. Eine 2 × 5-Matrix kann deshalb höchstens Rang 2 haben, ganz gleich, wie geschickt die fünf Spalten gewählt sind.
Der Kern ist die Menge aller x mit A · x = 0. Seine Dimension füllt genau die Lücke, die der Rang lässt. Ist sie 0, hat A · x = 0 nur die triviale Lösung, und bei quadratischem A ist die Matrix invertierbar. Ist sie größer, gibt es unendlich viele Vektoren, die A auf den Nullvektor schickt – und dann hat auch A · x = b entweder keine oder unendlich viele Lösungen, nie genau eine.
Warum A · B ≠ B · A
Die Matrizenmultiplikation ist der Punkt, an dem das Rechnen mit Matrizen aufhört, sich wie Rechnen mit Zahlen anzufühlen. Jeder Eintrag des Produkts ist das Skalarprodukt einer Zeile von A mit einer Spalte von B – die Reihenfolge steckt also im Verfahren selbst. Der Rechner zeigt bei jedem Produkt, ob B · A überhaupt definiert ist, und rechnet es aus, wenn ja. Meistens kommt etwas anderes heraus.
Das ist keine mathematische Marotte, sondern hat eine handfeste Bedeutung: Matrizen beschreiben Abbildungen, und Abbildungen hintereinander auszuführen ist reihenfolgeabhängig. Erst drehen und dann spiegeln ergibt etwas anderes als erst spiegeln und dann drehen – jeder, der schon einmal einen Rubik-Würfel gedreht hat, kennt das Phänomen. Was dagegen gilt: Das Assoziativgesetz (A · B) · C = A · (B · C) und das Distributivgesetz A · (B + C) = A · B + A · C.
Häufige Fragen
Warum bekomme ich bei der Inversen krumme Zahlen?
Weil Inverse fast immer Brüche enthalten – der Kehrwert der Determinante steckt in jedem Eintrag. Der Rechner zeigt deshalb zusätzlich die Bruchdarstellung an, wenn sich ein Eintrag als einfacher Bruch schreiben lässt: 0,6 erscheint dann auch als 3/5. Für Klausuren ist die Bruchform die gefragte Antwort, Dezimalzahlen sind dort nur eine Zwischenstation.
Was bedeutet „singulär“ und was mache ich dann?
Singulär heißt: Determinante gleich null, keine Inverse. Die Zeilen der Matrix sind linear abhängig, mindestens eine lässt sich aus den anderen zusammensetzen. Wenn du ein Gleichungssystem lösen wolltest, wechsle auf die Operation „Gleichungssystem“ – der Rechner sagt dann über das Rangkriterium, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt, und im zweiten Fall gibt er die ganze Lösungsmenge aus. Stammt die Matrix aus Messdaten, ist eine fast singuläre Matrix ein Hinweis darauf, dass zwei Messgrößen dasselbe messen.
Kann ich Brüche und Kommazahlen eingeben?
Beides. Schreib 3/4 für drei Viertel oder 0,75 – auch gemischt in derselben Matrix. Getrennt werden die Werte durch Leerzeichen, die Zeilen durch Zeilenumbrüche; alternativ funktioniert auch ein Semikolon als Zeilentrenner, sodass sich 1 2; 3 4 in eine Zeile schreiben lässt. Ein Komma innerhalb einer Zahl wird als Dezimalkomma gelesen.
Wie genau rechnet der Rechner?
Intern wird mit Gleitkommazahlen gerechnet und auf neun Nachkommastellen gerundet, damit kein Rundungsschmutz wie 0,9999999998 stehen bleibt. Für Schul- und Studienaufgaben mit überschaubaren Zahlen ist das exakt. Bei sehr schlecht konditionierten Matrizen – die Determinante liegt dann nahe null, ohne null zu sein – können Inverse und Lösung ungenau werden. Das ist keine Schwäche des Rechners, sondern eine Eigenschaft der Aufgabe: Kleine Änderungen der Eingabe führen dort zu großen Änderungen des Ergebnisses.
Wofür braucht man Matrizen außerhalb der Uni?
Für so ziemlich alles, was mit vielen Zahlen gleichzeitig passiert. Jede Drehung, Skalierung und Verzerrung in der Computergrafik ist eine Matrixmultiplikation. Lineare Regression läuft über Aᵀ·A. Das Netzwerk hinter Suchmaschinen-Rankings ist eine Matrix mit Milliarden Zeilen. Und in der Statik werden Tragwerke als große Gleichungssysteme gerechnet – dort entscheidet der Rang darüber, ob eine Konstruktion statisch bestimmt ist.
Quellen
- Gerd Fischer: Lineare Algebra – Standardwerk zu Rang, Determinante, Gauß-Verfahren und Rangsatz.
- Kronecker-Capelli-Kriterium (Rouché-Capelli): Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme über den Rangvergleich von A und (A|b).
- Carl Friedrich Gauß: Theoria motus corporum coelestium (1809) – Ursprung der modernen Darstellung des Eliminationsverfahrens; das Verfahren selbst ist im chinesischen „Jiuzhang Suanshu“ rund zwei Jahrtausende älter.
- Pierre-Frédéric Sarrus (1833): Regel für Determinanten dritter Ordnung.
- Volker Strassen: Gaussian Elimination is not Optimal, Numerische Mathematik 13 (1969) – zur Komplexität der Matrizenmultiplikation.
- Alle Beispielergebnisse dieser Seite stammen aus Durchläufen des Rechners auf dieser Seite und wurden gegen unabhängige Bruchrechnung nachgeprüft.
Mehr aus dieser Kategorie: Mathe-Rechner: Prozent, Bruch & Geometrie
Auch beliebt: Promillerechner · Schlafrechner · Hundejahre-Rechner
Entdecke das komplette Rechner-Portal auf rechnido – kostenlos und ohne Anmeldung.