So funktioniert der ggT- & kgV-Rechner
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) gehören zu den meistgebrauchten Werkzeugen der Bruchrechnung. Der ggT ist die größte Zahl, durch die sich alle eingegebenen Zahlen ohne Rest teilen lassen – man braucht ihn zum vollständigen Kürzen von Brüchen. Das kgV ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches jeder eingegebenen Zahl ist – es liefert den gemeinsamen Nenner beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Der Rechner verarbeitet zwei oder beliebig viele Zahlen und zeigt den kompletten Rechenweg samt Primfaktorzerlegung.
Die Formel
Den ggT bestimmt der Rechner mit dem euklidischen Algorithmus: Man teilt die größere durch die kleinere Zahl, ersetzt die größere durch den Rest und wiederholt das, bis der Rest 0 ist – der letzte Divisor ist der ggT. Das kgV folgt dann direkt aus der Beziehung ggT × kgV = Produkt der Zahlen. Bei mehr als zwei Zahlen werden ggT und kgV paarweise fortgesetzt.
Zwei Wege zum Ziel
| Methode | ggT | kgV |
|---|---|---|
| Primfaktoren | gemeinsame Faktoren, kleinste Potenz | alle Faktoren, höchste Potenz |
| Euklid / Formel | euklidischer Algorithmus | (a × b) ÷ ggT |
Beide Methoden führen zum selben Ergebnis. Die Primfaktorzerlegung ist anschaulich und wird in der Schule zuerst gelehrt; der euklidische Algorithmus ist schneller, besonders bei großen Zahlen.
Beispiel
Für 12 und 18: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². Gemeinsam sind eine 2 und eine 3 → ggT = 2 · 3 = 6. Alle Faktoren mit höchster Potenz: 2² · 3² = 36 → kgV = 36. Probe: ggT × kgV = 6 × 36 = 216 = 12 × 18. ✓
Häufige Fragen
Wozu brauche ich den ggT?
Vor allem zum Kürzen von Brüchen: Teilt man Zähler und Nenner durch ihren ggT, ist der Bruch in einem Schritt vollständig gekürzt. Beispiel: 12/18 durch 6 geteilt ergibt 2/3.
Wozu brauche ich das kgV?
Zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern: Das kgV der Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner, auf den man beide Brüche erweitert.
Was heißt „teilerfremd“?
Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr ggT gleich 1 ist – sie haben also außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler. Der zugehörige Bruch ist dann nicht weiter kürzbar (z. B. 4/9).
Funktioniert das auch mit mehr als zwei Zahlen?
Ja. Gib beliebig viele Zahlen durch Komma getrennt ein – der Rechner bestimmt ggT und kgV der gesamten Zahlenreihe, indem er die Werte paarweise verrechnet.
Quellen
- Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (Zahlentheorie, Sekundarstufe I).
- Beziehung ggT(a, b) × kgV(a, b) = a × b sowie Primfaktorzerlegung als Kontrollmethode.
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